In diesem Abschnitt werden die mathematischen und grafischen Grundlagen kurz dargestellt, auf denen Gravel die Verarbeitung von Graphen aufbaut.
Ein Graph G=(V,E) besteht aus einer Menge V von Knoten und einer Menge E an Kanten mit E ⊆ {e, | e ⊆ V ∧ |e| = 2} Für e={p,q} ∈ E sind p und q Endknoten der Kante e Zwischen zwei Knoten p,q ∈ V existiert maximal eine Kante.
Je nach Literatur heißen die Knoten auch Ecken des Graphen. Diese werden durch die Kanten zueinander in Beziehung gesetzt, was einer symmetrischen Relation auf den Knoten entspricht.
Zusätzlich gibt es viele Variationen in der Definition, von denen die folgenden Varianten häufig Verwendung finden:
gerichteter Graph. Bei gerichteten Graphen oder Digraphen G=(V,A) besteht ein Bogen aus dem Tupel a=(p,q) ∈ A Der Knoten p ∈ V ist der Startknoten, q ∈ V der Endknoten des Bogens. Dieser verläuft also von p nach q und ist somit eine gerichtete Kante. Bei Digraphen wird die Symmetrie der durch die Kanten gegebenen Relation aufgehoben.
Schlingen. Kanten bzw. Bögen, die einen Knoten p ∈ V mit sich selbst verbinden, heißen Schlingen. Dadurch können Knoten mit sich selbst in Beziehung gesetzt werden.
Mehrfachkanten. Wird das Einfügen mehrerer Kanten e1=e2={p,q} zwischen zwei Knoten p,q ∈ V in die Kanten(multi)menge E zugelassen, spricht man von Mehrfachkanten im Graphen G Analog gibt es bei Digraphen die Erweiterung zu Mehrfachbögen e'1=e'2=(p,q)∈ A zwischen zwei Knoten p,q ∈ V.
Weiter heißen zwei verschiedene Knoten adjazent, wenn sie durch eine Kante verbunden sind. Zwei verschiedene Kanten heißen adjazent, wenn sie einen Knoten gemeinsam haben. Die Endknoten einer Kante sind zu dieser inzident oder benachbart.
Jede Kante kann zusätzlich mit einem Gewicht w(e) ∈ ℕ versehen werden. Die Anzahl zu einem Knoten inzidenter Kanten bezeichnet auch dessen Grad. Bei Digraphen differenziert sich der Grad noch in Eingrad bzw. Ausgrad der eingehenden und ausgehenden Kanten in diesem Knoten.
Die mathematische Definition eines Graphen ist unabhängig von ihrer Darstellung. In jener lassen sich hingegen viele Eigenschaften untersuchen und beweisen, etwa der Zusammenhang von Graphen oder Hamiltonkreise. Eine jeweils illustrierende Grafik soll dann den Sachverhalt möglichst klar und verständlich darstellen. Üblicherweise werden Knoten als Punkte dargestellt, Kanten als Verbindungen zwischen den Punkten.
Für die Knoten V={v1,…,v10} entsteht der Petersen-Graph G=(V,E) durch die Kantenmenge E=E1∪E2, wobei
In der Abbildung 1 sind zwei Bilder dieses Graphen dargestellt. Der äußere Kreis und die Verbindungen nach innen sind durch E1 gegeben, der innere Stern durch E2, E' ist hervorgehoben
Ein = (V,
) besteht aus einer Menge V von Knoten und einer Menge
⊆
(V)\∅ von Hyperkanten. Eine Hyperkante E ∈
besteht somit aus einer nichtleeren Menge von Knoten.
Besteht eine Hyperkante E ∈ aus nur einem Knoten (|E|=1), so heißt sie auch, im Fall |E|=2 entspricht die Hyperkante der normalen Kante eines Graphen.
Der Hypergraph =(V,
) mit V= {vi | i=1,…,8 } und den Hyperkanten
= { Ei | i=1,…,6 } mit
Der Umriss einer Hyperkante wird dargestellt durch eine kontinulierliche Kurve, die aufgrund ihrer INjektivität genau eine Fläche umreißt. Innerhalb der Kurve liegen genau all die Knoten, die zur entsprechenden Hyperkante gehören, alle anderen liegen außerhalb. Spezialfälle sind Hyperkanten mit einem oder mit zwei Knoten. Bei einem Knoten kann außer dem Umriss eine Schleife am Knoten die Kante darstellen (siehe E6 in Abb. 2), bei zwei Knoten ist auch die übliche Kantendarstellung wie bei den Graphen üblich (siehe ebenso Abb. 2).